Tuesday, May 22, 2007

बूलियन तर्कशास्त्र: आणि,किंवा,नाही इ.इ.

"गॅस संपला आहे? मग खाणं घरी मागवू किंवा मग बाहेर जेवायला जाऊ"
(खाणं घरी मागवलं काय किंवा बाहेर जेवलो काय, निकाल एकच. जेवणाची व्यवस्था झाली.)
"ज्याचे शिक्षण या पदाला साजेसे आहे आणि ज्याच्या पगाराच्या अपेक्षा आम्हाला परवडतील त्या माणसाला आम्ही नोकरी देऊ."
(साजेसे शिक्षण, आणि पगाराच्या अपेक्षा या दोन्ही गोष्टी जुळल्या तरच अपेक्षित निकाल. त्या उमेदवाराची निवड.)

आपण बोलता बोलता 'आणि' व 'किंवा' या शब्दांचा वापर कितीदा तरी करतो. व्यवहारात स्वत:लाच काही अटी घालून घेतो. त्यातली एक आणि/किंवा अनेक अटी एकाचवेळी पूर्ण झाल्या तरच त्या अटींवरुन अवलंबून असलेला अपेक्षित निकाल(आउटपुट) आपल्याला मिळतो. आता या अटी आपल्याला हव्या तशा एक किंवा अनेक एकाचवेळी पूर्ण होतायत का, तपासणार कोण? आपलं मन. बूलियन तर्कशास्त्राच्या भाषेत बोलायचं झालं तर आपल्या मनात अनेक 'लॉजिक गेटस' आहेत, जी अशा अनेक अटी सतत तपासून त्याप्रमाणे काय करायचं याचा निर्णय घेत असतात.

हा 'लॉजिक गेट' काय प्रकार आहे बरं? 'गेट'. प्रवेशद्वार.या प्रवेशद्वारापाशी काळे आणि पांढरे कपडे घातलेल्या एक माणसांचा गट उभा आहे. आणि आपण सांगितलेल्या पद्धतीने तपासणी करुन रखवालदार त्या गटातल्या एकाच काळ्या किंवा पांढऱ्या प्रतिनिधीला आत सोडतो आहे. प्रवेशद्वाराला 'दिलेले काळेपांढरे नग' अनेक. पण 'प्रवेशद्वारातून पार होऊन आपल्याला भेटणारा, काळा किंवा पांढरा' नग एकच. आज आपण या प्रवेशद्वारांचे काही प्रकार अभ्यासणार आहोत.

१. 'अँड'- आणि
२. 'ऑर'- किंवा
३. 'नॉट'- नाही
४. 'नँड'- नकारार्थी आणि
५. 'नॉर'- नकारार्थी किंवा
६. 'एक्सॉर'- तुम्ही दोघे सारख्याच प्रकारचे असाल तर आम्ही नाही जा पांढऱ्याला सोडणार!
७. 'एक्सनॉर'-इथे गणवेशाची सक्ती आहे. तुम्ही दोघं वेगवेगळे कपडे घालून आलात तर आम्ही नाही जा पांढऱ्याला सोडणार!
(सूचना: या लेखातील चित्रे मोठ्या आकारात पाहण्यासाठी प्रत्येक चित्रावर क्लिक करा.)
____________________________________________________________
अँड :
'अँड' तर्कशास्त्रीय प्रवेशद्वार हे गुणाकाराचे, किंवा 'सिरीज'(एकसर) जोडणीचे प्रतिनिधित्व करते. तुम्ही कधी बँकेतल्या तिजोरीत दागिने, कागदपत्रे आदी ठेवले आहेत? तिजोरी उघडताना दोन चाव्या लावल्या तरच तिजोरी उघडते. या दोन चाव्यांतली एक आपल्याकडे व दुसरी बँकेच्या अधिकाऱ्याकडे असते. कोण्याही एकेकट्याने त्याच्याजवळ असलेली एकच चावी लावून तिजोरी उघडायचा प्रयत्न केला तर ती उघडणार नाही.हेही एक प्रकारचे 'अँड' प्रवेशद्वार. सर्वसामान्यपणे डिजीटल शास्त्राच्या भाषेत बोलायचं झालं तर 'काळे' म्हणजे 'ऑफ' म्हणजे 'फॉल्स' म्हणजेच 'शून्य' म्हणजेच 'लो' आणि पांढरे म्हणजे 'ऑन' म्हणजे 'ट्रू' म्हणजेच 'एक' म्हणजेच 'हाय'. यापुढे आपण या 'शून्य (०)' आणि 'एक (१)' च्या भाषेतच शिकणार आहोत. खाली दिलेले 'अँड' गेटचे चिन्ह आणि माहिती पाहूया:

'क' आणि 'ख' बटणे एकसर जोडणीत. 'क' किंवा 'ख' पैकी एक, किंवा दोन्ही बंद असली तर विद्युतमंडल पूर्ण होत नाही, दोन्ही एकावेळी चालू असली तरच विद्युतमंडल पूर्ण होऊन दिवा लागतो. क आणि ख आणि त्यावरुन निकाल ग ची स्थिती मांडणाऱ्या या वरील तक्त्याला 'ट्रुथ टेबल' अशी संज्ञा आहे.
(अवांतर: विद्युतमंडलातील विद्युतधारा मोजण्यासाठी जोडलेला 'ऍमिटर' ही नेहमी एकसर जोडणीतच जोडायचा असतो.कधी ऍमिटर विद्युतमंडलाच्या समांतर जोडणीत जोडून पाहिला आहे?पाहू नका.विद्युतस्त्रोत(बॅटरी)चे धन ऋण ध्रुव हे शून्य रोध असलेल्या ऍमिटरमुळे एकमेकांना जोडले जाऊन (शॉर्ट सर्किट होऊन) लहानसा स्फोटासदृश प्रकार घडतो! )
____________________________________________________________
'ऑर':
'ऑर' तर्कशास्त्रीय प्रवेशद्वार समांतर जोडणीचे प्रतिनिधित्व करते. 'एक होगा तो भी चलेगा! दोनो एकसाथ नही तो भी काम चला लेंगे!' अशी या लॉजिक गेटची सामंजस्याची भूमिका आहे. 'अँड' सारखा 'सगळे एकत्र पाहिजेतच' वाला काटेकोरपणा नाही. 'ऑर' गेटचे चिन्ह आणि विद्युतमंडलीय आकृतीने स्पष्टीकरण पाहूया:

बटणे क आणि ख ही समांतर जोडणीत जोडलेली आहेत. क आणि ख पैकी एक चालू केले किंवा दोन्ही एकावेळी चालू केली तरी दिवा लागेल. हां, आता क आणि ख दोन्ही एकावेळी बंद केली तर मात्र विद्युतमंडलाचा नाईलाजच होईल आणि ते पूर्ण होणार नाही.
____________________________________________________________
'नॉट':
चार (मराठी!) माणसं एकत्र जमून गप्पाटप्पा करत असतील, त्यांच्यात बहुतेकदा एखादा तरी 'तू काळं म्हणालास तर मी पांढरं म्हणणारच' या धोरणाचा (वितंड)वादी मनुष्य दिसतोच. 'नॉट' प्रवेशद्वाराचंही हे असंच आहे. तुम्ही शून्य पाठवलं की नॉट गेट एक म्हणणार आणि तुम्ही एक पाठवला तर त्याचं शून्य बनवणार. 'नॉट' गेटचे चिन्ह आणि माहिती पाहूया:

या ठिकाणी एकच बटण क हे विद्युतमंडलात जोडले आहे. 'क' या बटणाला दोन स्थिती आहेत. या बटणाला इलेक्ट्रॉनिक्स भाषेत 'सिंगल पोल डबल थ्रो(एस. पी डी.टी.) स्विच' म्हणतात. बटण क हे सर्वसामान्य स्थितीत जमिनीला जोडले आहे. ('जमीन' म्हणजेच 'ग्राउंड' तीन आडव्या रेषांनी दर्शवले आहे.) क बटण 'चालू' स्थितीत असल्यावर विद्युतधारा जमिनीकडे वाहून दिवा बंद राहतो आहे. मात्र क बटन 'बंद' अवस्थेत असताना ते दिव्याला जोडलेले असल्याने दिव्याला विद्युतप्रवाह मिळून दिवा लागतो आहे. नॉट गेटला दुसरी संज्ञा 'इन्व्हर्टर' हीसुद्धा आहे.
____________________________________________________________
'नँड':
नँड म्हणजेच नकारर्थी अँड प्रवेशद्वार, हे अँडच्या बरोबर उलटे वागते. 'कमी किंवा शून्य मिळाले तर त्याच्यात समाधाने राहू,मात्र जास्तीत जास्त मिळाले तर डोक्यात हवा जाऊन होत्याचे नव्हते करु' असे काहीसे या गेटचे धोरण आहे. नँडचे चिन्ह अँडच्या चिन्हापुढे एक गोळा असे दर्शवले जाते. हा गोळा म्हणजे 'उलटण्याचे' वा 'इव्हर्जन' चे प्रतिक दाखवण्यासाठी म्हणून वापरला जातो. नँडचे चिन्ह आणि माहिती पाहूया:

क किंवा यापैकी एक, किंवा दोन्ही बटणे एकावेळी 'बंद'(अनुक्रमे प आणि फ बिंदूंना) असली तरी विद्युतमंडल पूर्ण होऊन दिवा लागेल. मात्र दोन्ही बटणे 'चालू' स्थितीला एकावेळी असली तर विद्युतमंडल पूर्ण होणार नाही आणि दिवा लागणार नाही.
____________________________________________________________
'नॉर':
नॉर हा प्राणी 'ऑर' प्रवेशद्वाराच्या अगदी उलट. पूर्ण शून्यात हा समाधानी, पण जरा संपत्ती मिळायला लागली की नाखूश. मिळालेल्या दोन्ही संख्या '०' असल्या तरच निकाल चांगला. एक किंवा दोन्ही संख्या एक असल्या तर निकाल शून्य. खाली दिलेली 'नॉर' ची माहिती पाहा:

बटण क आणि बटण ख दोन्ही 'बंद' बिंदूंकडे असले तरच विद्युतमंडल पूर्ण होऊन दिवा लागेल. क चालू, किंवा ख चालू, किंवा दोन्ही चालू असले तरी विद्युतधारा जमिनीकडे जाईल व दिवा प्रकाशित होणार नाही. ____________________________________________________________
एक्झॉर:
'एक्झॉर' गेट हे फुटीरतावादी किंवा वैविध्यताप्रेमी आहे. दिलेल्या माहित्या वेगवेगळ्या प्रकारच्या नसणे, किंवा सारख्या नसणे ही निकाल चांगला लागायची अट आहे. एक्झॉरचे सूत्र असे लिहीता येईल:
((क च्या उलट माहिती) गुणिले ख) अधिक ((ख च्या उलट माहिती) गुणिले क)
आता क आणि ख दोन्ही '१' असले तर काय होईल?
(१ च्या उलट म्हणजे ०) गुणिले १ अधिक (१ च्या उलट म्हणजे ०) गुणिले १=म्हणजे शेवटी उत्तर शून्यच!
क आणि ख दोन्ही शून्य असले तरी तेच.
(० च्या उलट म्हणजे १) गुणिले ० अधिक (० च्या उलट म्हणजे १) गुणिले ०= म्हणजे परत उत्तर शून्यच!
समजा क १ आणि ख ० असला तर?
(१ च्या उलट म्हणजे ०) गुणिले १ अधिक (० च्या उलट म्हणजे १) गुणिले १=वा! उत्तर १ आले.
ख १ आणि क शून्य असला तरी उत्तर १ येईल. एक्झॉर गेट काही नँड गेटांचा वापर करुन हे असे तयार करता येईल:

____________________________________________________________
'एक्सनॉर':
एक्सनॉर चे वागणे एक्झॉर च्या अगदी उलट. जर दिलेल्या माहित्या एकसारख्या असल्या तरच निकाल चांगला, अन्यथा शून्य. एक्झॉरचे सूत्र हे असे:
(((क च्या उलट माहिती) गुणिले ख) अधिक ((ख च्या उलट माहिती) गुणिले क)) या पूर्ण हिशोबाच्या उलट.
काही नँड गेटांच्या साहाय्याने एक्सनॉर गेट हे असे बनवता येते:

____________________________________________________________
सर्वसमावेशक प्रवेशद्वारे(युनिव्हर्सल लॉजिक गेटस):
नँड आणि नॉर यांना 'युनिव्हर्सल गेटस' म्हणतात, कारण कोणतेही इतर तर्कशास्त्रीय प्रवेशद्वार एकापेक्षा जास्त नँड किंवा एकापेक्षा जास्त नॉर चा उपयोग करुन बनवता येते. कशी बनवणार नँड आणि नॉर वरुन इतर गेटे? अंदाजपंचे? नाही. त्यासाठी आपण डीमॉर्गनची दोन सूत्रे वापरतो.
सूत्र १: 'उलट' (माहिती क 'आणि' माहिती ख)= उलट(माहिती क) 'किंवा' 'उलट'(माहिती ख).
सूत्र २: 'उलट' (माहिती क 'किंवा' माहिती ख)= उलट(माहिती क) 'आणि' 'उलट'(माहिती ख).
आंग्लभाषेत 'उलट' हे त्या अक्षरावर आडवी रेष असे दाखवतात. आंग्लभाषेत डी मॉर्गनचा सिद्धांत हा असा:



उदा. आपण 'नॉट' गेट नँड च्या साहाय्याने कसे बनवू?
उलट(क)= उलट(क)+(०). (० अधिक केले तर संख्येत काही फरक पडणार नाही.)
= उलट(क)+उलट(१)
=उलट(क आणि १) (डीमॉर्गनचे पहिले सूत्र वापरुन)
आता आपण विचार केला तर 'क आणि १' हे अँड गेटला दिले तर मिळणारा निकाल सर्वस्वी क च्या किंमतीवर अवलंबून असेल. क ०, निकाल ०. क १, निकाल १.
म्हणून आपण या १ ची जागा क नेच घेतली तर?
उलट(क)=उलट(क आणि क)
अरे हो! उलट(काहीतरी आणि काहीतरी) म्हणजे नँड गेट. म्हणून अर्थ असा झाला की आपण नँड गेटला दोन्ही माहिती क दिल्या तर उत्तर क च्या उलट येईल. हे असे:

लेख संपवल्यावर डीमॉर्गनची सूत्रे वापरुन हा गृहपाठ सिद्ध नक्की करुन पहा:
१. नँडच्या साहाय्याने ऑर
२. नँडच्या साहाय्याने अँड

डिजीटल इलेक्ट्रॉनिक्स हा एक अफाट समुद्र आहे. त्यातल्या 'लॉजिक गेटस' या एका लहानशा सुईने कशिदा काढण्याचा हा प्रयत्न केला आहे.
(-अनुराधा कुलकर्णी)
____________________________________________________________
डिस्क्लेमर:
१. लेखातील माहिती विकीपीडीया व लेखिकेच्या आठवणींच्या आधारे लिहिली आहे.
२. माहितीत व आकृत्यांत सुधारणेला वाव असू शकेल.
३. लेखात दाखवलेली दिवा आणि बटणांची विद्युतमंडले ही केवळ चांगल्या स्पष्टीकरणासाठी वापरलेली आहेत. प्रात्यक्षिकासाठी वापरताना त्यात आवश्यक त्या किमतीचे रोध, इंडक्टन्स आदी वस्तूंची आवश्यकता आहे याची नोंद घ्यावी.
अनुराधा कुलकर्णी

4 comments:

deepanjali said...

जे आपल्याला आवडते ते इतरांपर्यंत पोहचले पाहीजे.
असा लहानसा प्रयत्न आहे.म्हणूनच मला वाटते .
की तू सूद्धा आमच्या अड्डयात सामील व्हावे .
एकदा येऊन पहा आमच्या ब्लोग अड्डयावर

Udayan said...

मला एक विचारासच आहे की आपला ब्‍ला्ग मोझुला फायफॉक्‍स मध्‍ये सुद्धा नीट दिसत आहे ते कस काय ?
उदयन

Mi... Majha.... said...

AND, OR marathitun shikun aananda watala ... pahilyndach mala hi lok marathitun bhetali ... thanks ..

अभिजित लेले said...

अनूताई,

बुलियन चा अर्थ वेगळा होतो. हे बूलीन (Boolean) आहे.